Un problema acerca de los cuadrados

Hace tres días me topé con la siguiente redacción:

Demuestre que para cualquier natural n, existen tres enteros positivos a,b,c,  tales que n se puede escribir de la forma a² + b² – c².   

Es de notable interés cada vez que todos los números de un conjunto se pueden escribir como la suma,  la resta o la multiplicación de los miembros de un conjunto singular. El caso más conocido lo proveen los primos. El hecho de que todo número natural se pueda escribir como el producto finito de primos se conoce en el contexto de la teoría de números como una base multiplicativa de orden finito.

Sin embargo las bases más interesantes para los números naturales suelen ser aditivas, en vez de multiplicativas. Esto significa que hay varios conjuntos singulares a través de los cuales podemos escribir cualquier natural como la suma de un número finito de estos.

Una de las bases aditivas más fascinantes se encuentran entre los números poligonales o figurados. Este último nombre les viene del hecho de que se originan a partir de sucesiones de figuras conocidas. Los primeros en la lista son los números triangulares, les siguen los cuadrangulares, pentagonales y así sucesivamente. Del lado derecho observamos algunos ejemplos.

El teorema de Cauchy (1813) integra bellamente el concepto de base aditiva y de número poligonal, pues establece que cualquier número natural se puede escribir como la suma de tres triangulares, cuatro cuadrangulares, cinco pentagonales, etc., a menos de que ya sean un número poligonal.

Una vez enunciado ésto se deduce la importancia de la conjetura de Goldbach en el contexto de la Teoría aditiva de números, pues propone a los números primos como una base de orden 3, esto es que todo natural se pueda escribir como la suma de dos y a los más tres primos. Aunque la conjetura no ha sido demostrada muchos matemáticos están convencidos de que es cierta. Como todo estudiante de matemáticas quedé maravillado con aquella sencilla formulación en los primeros semestres y tiempo después supe  la enorme complejidad que llevaba consigo, sobre todo en aquel primer curso de Teoría de números en que el un profesor con bastón  entró, nos miró a todos y nos dijo sonriendo: "Bienvenidos a este curso,  en él estudiaremos esa disciplina que por siglos ha sido considerada la reina de las matemáticas ", después vino una serie de conjeturas fascinantes no resueltas acerca de los primos, la conjetura de Goldbach, y el ilegible libro de Vinográdov bajo el brazo con que recorríamos los pasillos ufanos de nuestro curso introductorio. 

Pero si se trata de fantasear hay una película interesante que me recomendó un gran amigo que no sabe de matemáticas pero que su gran gusto por la literatura le ha permitido maravillarse casi de cualquier tema y cuya trama se urde en torno a dicha conjetura. Me refiero a La habitación de Fermat, que podría entenderse como una versión matemática de Juego macabro. En ella cuatro matemáticos son convocados a un lugar secreto donde supuestamente les será revelado el problema más enigmático de los últimos tiempos. Una vez que se hallan ahí descubren que se trataba de una trampa y tendrán que resolver muchos problemas matemáticos y comunicar sus respuestas para evitar que la habitación donde se encuentran siga comprimiéndose y los mate. Entre ellos hay un joven  matemático que había comunicado (falsamente) días antes ser el autor de una prueba para la conjetura. Poco a poco descubren que la mente detrás de la trampa está atrapado en la misma habitación y que éste también había hallado una demostración. Su móvil para la trampa era la primacía en la solución del antiguo problema. Al final de cuentas sus propósitos son coartados y los sobrevivientes deciden arrojar la verdadera demostración al fondo de un lago para encubrir la identidad del único hombre muerto en la habitación de Fermat, dejando aún al mundo con el peso de la conjetura irresoluta.

Pero volviendo al problema original su demostración es simple, aunque me llevó dos días encontrarla. Básicamente la prueba consiste en transformar la expresión:

n = a² + b² – c²= a² + (b-c)(b+c)

Y ahí se encuentra el secreto, en la diferencia de cuadrados. De hecho muchos números se pueden escribir como diferencia de cuadrados de manera muy fácil si nos enfocamos en la forma en que pueden factorizarse. Pensemos en los números impares, estos siempre se pueden escribir como el producto de la suma y la diferencia de dos números:

n = (n-1)/2  +  (n+1)/2, al sumar dan n, al restarlos dan uno.

El procedimiento es el siguiente: Aproximamos n con un cuadrado (a²) inferior a éste, de tal manera que el faltante sea un número impar; como los impares siempre son una diferencia de cuadrados el problema está resuelto. Ejemplo: 

Sea n = 43. Una aproximación sería 6²=36. Faltarían 7, pero 7 = (4+3)(4-3)= 4² – 3².

Así 43 = 6²+4² – 3².

En caso de que la aproximación no dejase un residuo impar sencillamente cambiamos de cuadrado, escogemos el anterior.

Dada la libertad creo que podemos hacer una imposición más: pedir que a<b<c. En tal caso b² – c² sería negativo. La modificación al método consistiría en superar a n con un cuadrado (a²), de esa forma          b² – c² se restaría. Para garantizar que c supere a la variable a podemos alejarnos de n con cuadrados mayores.