Los números Fantásticos

Este sábado me topé con el siguiente problema:

Se dice que un número n es Fantástico cuando se trata de un cuadrado perfecto y a la vez la suma de los primeros números hasta n dan otro cuadrado perfecto. Por ejemplo, el 49, que es el cuadrado de 7. Por otro lado la suma 1+2+3+4+...+49 = (1/2)(49)(50) = 1225, que es el cuadrado de 35. ¿Cuál será el siguiente número Fantástico?

Pues después de tres cafés fríos, dos crepas y un caldo tlalpeño, creo que otro número Fantástico sería el 1681. He aquí la demostración:

Sea n un número Fantástico, entonces tendrá que ser un cuadrado perfecto, digamos:
n=  p², para algún entero p.

Al mismo tiempo debe tenerse que S(n)  sea de la forma q²; así, usando la fórmula de Gauss:
  S(n)=n(n+1)/2=(p² (p²+1))/2=q²; Consideremos el caso donde p sea impar, esto lleva
a que q sea impar.

Claramente p² y (p²+1)  son primos relativos, ya que son enteros consecutivos. Esto nos
lleva a que  p²  divida a  q², es decir: q²= p² r², para algún entero r. De ahí se desprende
que∶ (p²+1)/2= r², o bien: p²=2r²-1. Observese que p>r.

Esta igualdad posee una interpretación interesante: "El cudrado de r, duplicado y disminuido en 1,
da otro cuadrado". No es difícil estimar cuántos números separan a dos cuadrados distintos.
Si p>r, entonces ∃!k ∋ p=r+k. De donde la distancia entre sus cuadrados es:

(r+k)²-r²=2rk+k²
Pero p²=2r²-1=r²+(r²-1).

O sea, el término (r²-1)  es lo que le falta al cuadrado de r para alcanzar a p².

Sustituyendo queda que∶ 2rk+k²= r²-1=(r-1)(r+1). Como r debe ser impar, se 

desprende que (r-1)y (r+1) son pares consecutivos, digamos 2x y 2y, donde x y y son
consecutivos. Así la igualdad anterior se transformaría en:


 2rk+k² =(2x)(2y)  
k(2r+k)=4(xy), de aquí se nota que k es par, o sea: k=2k₁
k₁ (r+k₁)=xy, o sea: k₁=xy/(r+k₁ ), pero si (r-1)=x  y (r+1)=y, sumando igualdades:
r=x+y, de modo que: k₁=xy/(x+y+k₁).

¡Esta es la condición universal de los números Fantásticos, así como existe una para los números
Perfectos y las ternas Pitagóricas!

Si interpretamos la solución quedaría así: basta buscar dos número consecutivos  cuyo producto
pueda dividirse entre su suma aumentada en k₁, y que el cociente sea el mismo k₁.
Nótese que si x=2,y y=3,entonces k₁=1, de donde resulta que p=7 y r=5,
dando origen a n=49, el primer número Fantástico. Continuando el ensayo resulta:
(4)(5)…Falla
(5)(6)…Falla
             ⋮
(14)(15)  si funciona, pues el producto es 210, la suma 29,que aumentada en 6 da el mismo cociente.
Así otro número fantástico proviene de k₁=6, por lo que k=12 y r=29.
Así: p=29+12=41 y q=pr=41(29)=1189.
De este modo el siguiente número fantástico es n=1681= 41² y S(1681)=1189².