Docencia y Utopía

Juegos de suma cero

Entre la diversa gama de juegos, existen unos de especial interés por su simpleza y familiaridad. Me refiero a aquellos donde solo participan dos personas y los únicos resultados posibles son que uno gane y el otro pierda. Aunque basta un elemento cualitativo para definir los pagos (“ganar” o “perder”), al participar más jugadores se hace necesario asociar expresiones numéricas.

Pensemos en un juego muy común: Un jugador piensa en una de dos opciones: Sol o águila. El segundo jugador tratará de adivinar el número pensado por su oponente. Si acierta gana un punto, de lo contrario lo pierde.

Representado en su forma rectangular tendríamos:

	Sol	Águila
Sol	(-1,+1)	(+1,-1)
Águila	(+1,-1)	(-1,+1)

O que tal el: Piedra, Papel o Tijera.

	Piedra	Papel	Tijera
Piedra	(0,0)	(-1,+1)	(+1,-1)
Papel	(+1,-1)	(0,0)	(-1,+1)
Tijera	(-1,+1)	(+1,-1)	(0,0)

En ambos casos se cumple que la suma de los pagos obtenidos por cada jugador, una vez que definen sus elecciones, es cero. A las elecciones tomadas por los jugadores para disputar una partida, las llamaremos perfiles de estrategia, y los representaremos por la letra s. Queda claro que en el caso de un juego bipersonal, el conjunto de todos los perfiles de estrategias es el producto cruz de todas las estrategias o decisiones con que cuenta cada jugador. Es decir D=D₁xD₂.

Entonces ahora diremos que los ejemplos anteriores se conocen como juegos de suma cero. O sea aquellos donde Sj_j(s)=0, con j corriendo por todos los jugadores y s cualquier perfil de estrategias en D.

Sin embargo, en otros juegos de la infancia donde también solo se podía ganar o perder, no resulta inmediato visualizarlos como juegos de suma cero. Por ejemplo, en las damas chinas o en el dominó hay un ganador, pero a lo más tres perdedores y las funciones de pago quedarían de esta forma (1,-1,-1,-1).

Pero tratemos, en su defecto, de adecuar el famoso juego del disparejo con volado para que sea de suma cero. Para ello modifiquemos los pagos de la siguiente manera: El primer jugador en ser descalificado recibirá un pago de -1, el que pierda el volado 0, y el vencedor +1. Consideremos al azar como un cuarto jugador no incluido en los pagos.

Llamemos cielo y tierra a las opciones para el disparejo y sol o águila para el volado. La estrategia de cada jugador consta de dos decisiones: su elección en el disparejo y su elección en el volado. Así para el perfil de estrategias ((c,s),(c,a),(t,s),(s)), el tercer jugador es eliminado y en el volado gana el primer jugador. Entonces el pago será: (+1,0,-1). Si queremos generalizar al caso de n jugadores, entonces los pagos quedarían así:

Primer eliminado: -(n-2) , segundo eliminado: -(n-3), …, último eliminado 0 y el vencedor (n-2)(n-1)/2. Claramente de suma cero.

Equilibrio de Nash y los pagos esperados

Una vez planteados algunos juegos, siempre salta a la cabeza la pregunta de si habrá una estrategia que permita a algún jugador ganar siempre, o en su defecto ganar un número de veces mayor al del resto de los jugadores. Nuestra experiencia nos dice que en ninguno de los casos anteriores se puede garantizar la victoria, y quizá para los jugadores esto le dé sentido al hecho de seguir jugando volados o disparejos, pero no así para los matemáticos.

Para entender el concepto de equilibrio de Nash hagamos la siguiente pregunta: ¿qué debería de cumplir un perfil de estrategias en un juego donde de ante mano no existe estrategia ganadora como en el caso de los volados, el disparejo y el piedra papel o tijera (PPT), y que dejara satisfechos a todos los jugadores?

¡Buena pregunta! Diría Neumann por ahí de 1928. Y queda claro si la abordamos a partir de la siguiente situación: pensemos en un asiduo jugador cuya experiencia lo ha hecho ganar en el PPT muchas veces, siempre y cuando le apueste fervientemente a la “piedra”, aunque quizá con algunos desahogos para despistar al contrincante. Pero supongamos que un día encuentra su némesis, es decir, otro jugador cuya experiencia le dice que el “papel” es de lo mejor. Desgraciadamente al construir el perfil de estrategias (Piedra, Papel), pronto el primer jugador notará su desventaja, por lo que una de las preferencias perderá su estabilidad después de muchos juegos. El jugador 1 notará que si cambia su estrategia por tijera le irá mejor. Pero incluso el perfil (Tijera, Papel) no será estable, ya que el segundo jugador, al notarse en desventaja optará progresivamente por la piedra, quedando los papeles invertidos y así hasta nunca acabar.

En 1928, el matemático Húngaro John Von Neumann, reportó un curioso descubrimiento a la Sociedad Matemática de Gotinga: había descubierto una “estrategia racional” al problema cuando dos personas se enfrentan en un volado (Aplica para el PPT). Y con ello no quiso dar a entender que había descubierto cómo asegurar el éxito y cómo la ruina, sino la manera como los jugadores podrían evitar al máximo sus pérdidas.

El equilibrio de Nash es precisamente ese perfil de estrategias que goza de una estabilidad desde el punto de vista de cualquier jugador, es decir, una vez fijadas sus decisiones, cualquier cambio de opinión perjudicará al mismo jugador o a los demás, por lo que éstos tendrán incentivos para mover sus estrategias. Y en el caso de los tan inflexibles juegos de suma cero, Neumann notó que la estrategia racional parecía consistir en que uno de los jugadores pensara al juego como la tarea de buscar el máximo de sus mínimos pagos seguros, mientras que el otro tratara de ver su tarea como la de minimizar los máximos pagos. En la coincidencia de estas tareas parecía estar una solución estable a los conflictos de suma cero.

Es curioso que queramos explicar lo que es el equilibrio de Nash a partir de juegos que no lo tienen a simple vista, pero esto nos llevará por la misma senda que siguieron Neumann y Morgenstern al expresar que en aquellos juegos donde no podían maximizarse los pagos seguros, quizá sí podrían maximizarse los pagos esperados. Al final de esa senda por supuesto se halla el concepto de estrategia mixta, pero antes de llegar a ella ejemplifiquemos lo que son los pagos esperados mediante un juego, por supuesto.

El juego de las ruletas

Hay tres ruletas, divididas en tres sectores con igual probabilidad de ser seleccionados y con los siguientes números: R₁=(7,8,1) ; R₂=(4,5,6) y R₃=(2,3,9). Cada uno de los dos jugadores escoge una ruleta diferente y la pone a rodar. Si el número seleccionado en la ruleta de un jugador es mayor que el del otro, el primero gana un punto y el otro pierde uno. Representemos los perfiles de estrategias y calculemos la matriz de pagos.

El primer jugador solo tiene tres opciones: I,II y III, mientras que las opciones del segundo dependen de la que haya elegido su contrincante. Presentado de manera extensiva, el segundo jugador tiene tres vértices de decisión: (II o III, I o III, I o II ), es decir, ocho posibilidades.

Una vez seleccionado un par de ruletas, existen nueve posibles resultados. Cada jugador espera nueve posibles pagos igualmente probables.

Procedamos con los pagos esperados para el caso donde jueguen las ruletas I=(7,8,1) y II=(4,5,6).

En ese orden, el pago esperado del jugador 1 es: 1/9 (1+1+1+1+1+1-1-1-1)= (1/3), pues gana 6 y pierde en tres ocasiones. Obviamente el pago del jugador 2 es (-1/3).

Para I=(7,8,1) y III=(2,3,9) queda:

Jugador 1=1/9 (1+1-1+1+1-1-1-1-1)= (-1/9) ; Jugador 2= (1/9).

Y en II=(4,5,6) y III=(2,3,9).

Jugador 1= 1/9 (1+1-1+1+1-1-1-1-1)=(-1/9) ; jugador 2=(1/9)

	(II,I,I)	(II,I,II)	(II,III,I)	(II,III,II)	(III,I,I)	(III,I,II)	(III,III,I)	(III,III,II)
I	(1/3,-1/3)	(1/3,-1/3)	(1/3,-1/3)	(1/3,-1/3)	(-1/9,1/9)	(-1/9,1/9)	(-1/9,1/9)	(-1/9,1/9)
II	(-1/3,1/3)	(-1/3,1/3)	(-1/9,1/9)	(-1/9,1/9)	(-1/3,1/3)	(-1/3,1/3)	(-1/9,1/9)	(-1/9,1/9)
III	(1/9,-1/9)	(1/9,-1/9)	(1/9,-1/9)	(1/9,-1/9)	(1/9,-1/9)	(1/9,-1/9)	(1/9,-1/9)	(1/9,-1/9)

Traten de ver este caso cuál es el quilibrio o perfil de estrategias estabable.

Cada vez que observamos una construcción, lo natural es preguntarnos acerca de sus dimensiones. Nosotros por ejemplo, al pensar en el tamaño de las cosas nos viene a la cabeza la palabra metro, o sea cien centímetros. En otros países la palabra puede ser pie o yarda. ¿Pero el metro es una unidad de medida que hoy es usado en muchas partes del mundo. Si nos remontamos años atrás ésta medida hoy tan natural no existía.
¿Qué unidad de medida utilizaron los diseñadores de los templos de teotihuacán, si no existía el metro?
El siguiente artículo es de gran interés:
http://paleorama.wordpress.com/2011/11/02/descubren-un-factor-matematico-constante-en-las-construcciones-de-teotihuacan/

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