Dos problemas para un domingo lluvioso de febrero

No sé dónde leí que el cerebro de una persona deja de crecer cerca de los treinta años. Por lo que a mí respecta, no creo haberlo usado lo suficiente. Cerca de la fatídica edad, la cuál creo ha de variar según el criterio de los estudiosos, me he impuesto la tarea de resolver mis últimos problemas matemáticos. Es una vanidad creer que podré acertar uno por día, sobre todo cuando conozco una gran cantidad de acertijos que nunca he logrado resolver. Quizá en los años posteriores solo publique lo que nunca llegué a entender y ese texto se asemeje a uno de esos volúmenes inverosímiles que forman parte del inventario de la Biblioteca de Babel de Borges. 

En alguno de los apartados de La consolación por la filosofía, Boecio defendía la amistad desinteresada como una virtud y creía ver en los libros el medio de acercarse a lo mejor en la vida de una persona. Un texto de lo que nunca llegamos a comprender y lo que nos fue imposible a lo largo de una vida chocaría ciertamente con su idea. Incluso hay veces que me asalta la idea del último escritor posado en la barandilla del fin de la civilización redactando lo que nos fue ajeno e inalcanzable. Mientras eso esté fuera del alcance de nuestra época y los treinta aun no sean una realidad, resolveré algunas cuestiones.

El primero de ellos versa así: Demuestra que en cualquier partición del conjunto N = {1,2,3,...,9} en tres subconjuntos, hay uno de ellos que cumple que el producto de sus números es mayor que 71.

Intuitivamente la idea no es tan descabellada. Si un conjunto es pobre, digamos constando del 1,2 y 3, los grandes como el 9, 8 y 7 terminarán por compensarlo. El enigma parece recaer en el número 71. Imaginemos que existe una tripartición donde esto no se cumple, para variar procedamos por reducción al absurdo.  Es decir, que el producto de sus elementos es menor o igual que 71. Como 71 no puede formarse a partir de los factores 1,2,...9, podemos considerar que se trata de 70.

Sea A={x₁,x₂,x₃},  B={x₄,x₅,x₆}  y C={x₇,x₈,x₉} la partición. En todos los casos se cumpliría que:

x₁x₂x₃ £ 70, x₄x₅x₆ £ 70 y x₇x₈x₉ £ 70. Pero 70 = 2x5x7.

Si multiplicamos las tres desigualdades sucedería que:

 ∏x_i £ 2³5³7³ , con x_i ÎN, sin embargo las siguientes desigualdades se cumplen:

7² < 8(6)

5² (7) < 9(7)(3)

5(2³) <1(2)(4)(5)

Si multiplicamos las tres desigualdades  queda:  ∏x_i > 2³5³7³,que es un absurdo. Por lo tanto siempre es posible tripartir el conjunto de modo que  exista un subconjunto cuyo producto supere a 71.

El segundo de ellos dice así: Encuentra todos los enteros no negativos a y b que satisfacen la ecuación: 3(2^a) + 1 = b².

Bueno, pues el álgebra es la disciplina que nos permite transformar las expresiones en otras que no muchos ven pero que son lógicamente equivalentes. Aplicándola quedaría así:

3(2^a) = b² – 1

3(2^a) = (b-1)(b+1). Si a = 0, claramente b = 2, que es la solución trivial de la ecuación. 

Para continuar consideremos que a es mayor o igual a 1. Entonces b no puede ser par. De lo que se desprende que (b-1) o bien (b+1) debe ser divisible por 3, ya que tres números consecutivos siempre contiene un múltiplo de 3. Partamos los productos de la siguiente manera:

Caso 1) 3(2^j) = (b-1) y 2^k= (b+1), con j + k = a, es decir, las potencias de dos se partieron.

Como b es un impar no múltiplo de 3, hay dos sub casos, que b = 3n + 1 o que b = 3n + 2

Sub caso i) , b = 3n + 1 

3(2^j) = (b-1)  y  2^k= (b+1)

3(2^j) = 3n + 1 - 1   y  2^k= 3n + 1 + 1

3(2^j) = 3n    y  2^k= 3n + 2

o sea n = 2^j 

sustituyendo 2^k=3(2^j) + 2, o sea 2^k-2= 3(2^j),

2(2^k-1-1)=3(2^j), de donde j=1 y k=3 y son todos los casos.O sea b = 7 y a = 4.

Sub caso ii), b = 3n + 2, procediendo del mismo modo queda:

3(2^j) = 3n + 1  y  2^k= 3n + 3, esta última igualdad es un absurdo.

Caso 2)  2^k= (b-1)   y 3(2^j) = (b+1), con j + k = a.

Sub caso i), b = 3n + 1.

2^k= 3n + 1 - 1 , que es un absurdo.

Sub caso ii), b = 3n + 2

2^k= 3n + 2 - 1  y   3(2^j) = 3n + 2 + 1

2^k= 3n + 1   y   3(2^j) = 3n + 3

2^k= 3n + 1 y   (2^j) = (n + 1)

Si dividimos:

2^k/ 2^j = (3n + 1)/(n+1), que solo tiene solución cuando n = 1 (el caso n =0 creo ya lo consideramos), en cuyo caso b = 5 y a = 3. Creo que son todos los casos.