Dos problemas para un domingo lluvioso de febrero

No sé dónde leí que el cerebro de una persona deja de crecer cerca de los treinta años. Por lo que a mí respecta, no creo haberlo usado lo suficiente. Cerca de la fatídica edad, la cuál creo ha de variar según el criterio de los estudiosos, me he impuesto la tarea de resolver mis últimos problemas matemáticos. Es una vanidad creer que podré acertar uno por día, sobre todo cuando conozco una gran cantidad de acertijos que nunca he logrado resolver. Quizá en los años posteriores solo publique lo que nunca llegué a entender y ese texto se asemeje a uno de esos volúmenes inverosímiles que forman parte del inventario de la Biblioteca de Babel de Borges. 

En alguno de los apartados de La consolación por la filosofía, Boecio defendía la amistad desinteresada como una virtud y creía ver en los libros el medio de acercarse a lo mejor en la vida de una persona. Un texto de lo que nunca llegamos a comprender y lo que nos fue imposible a lo largo de una vida chocaría ciertamente con su idea. Incluso hay veces que me asalta la idea del último escritor posado en la barandilla del fin de la civilización redactando lo que nos fue ajeno e inalcanzable. Mientras eso esté fuera del alcance de nuestra época y los treinta aun no sean una realidad, resolveré algunas cuestiones.

El primero de ellos versa así: Demuestra que en cualquier partición del conjunto N = {1,2,3,...,9} en tres subconjuntos, hay uno de ellos que cumple que el producto de sus números es mayor que 71.

Intuitivamente la idea no es tan descabellada. Si un conjunto es pobre, digamos constando del 1,2 y 3, los grandes como el 9, 8 y 7 terminarán por compensarlo. El enigma parece recaer en el número 71. Imaginemos que existe una tripartición donde esto no se cumple, para variar procedamos por reducción al absurdo.  Es decir, que el producto de sus elementos es menor o igual que 71. Como 71 no puede formarse a partir de los factores 1,2,...9, podemos considerar que se trata de 70.

Sea A={x₁,x₂,x₃},  B={x₄,x₅,x₆}  y C={x₇,x₈,x₉} la partición. En todos los casos se cumpliría que:

x₁x₂x₃ £ 70, x₄x₅x₆ £ 70 y x₇x₈x₉ £ 70. Pero 70 = 2x5x7.

Si multiplicamos las tres desigualdades sucedería que:

 ∏x_i £ 2³5³7³ , con x_i ÎN, sin embargo las siguientes desigualdades se cumplen:

7² < 8(6)

5² (7) < 9(7)(3)

5(2³) <1(2)(4)(5)

Si multiplicamos las tres desigualdades  queda:  ∏x_i > 2³5³7³,que es un absurdo. Por lo tanto siempre es posible tripartir el conjunto de modo que  exista un subconjunto cuyo producto supere a 71.

El segundo de ellos dice así: Encuentra todos los enteros no negativos a y b que satisfacen la ecuación: 3(2^a) + 1 = b².

Bueno, pues el álgebra es la disciplina que nos permite transformar las expresiones en otras que no muchos ven pero que son lógicamente equivalentes. Aplicándola quedaría así:

3(2^a) = b² – 1

3(2^a) = (b-1)(b+1). Si a = 0, claramente b = 2, que es la solución trivial de la ecuación. 

Para continuar consideremos que a es mayor o igual a 1. Entonces b no puede ser par. De lo que se desprende que (b-1) o bien (b+1) debe ser divisible por 3, ya que tres números consecutivos siempre contiene un múltiplo de 3. Partamos los productos de la siguiente manera:

Caso 1) 3(2^j) = (b-1) y 2^k= (b+1), con j + k = a, es decir, las potencias de dos se partieron.

Como b es un impar no múltiplo de 3, hay dos sub casos, que b = 3n + 1 o que b = 3n + 2

Sub caso i) , b = 3n + 1 

3(2^j) = (b-1)  y  2^k= (b+1)

3(2^j) = 3n + 1 - 1   y  2^k= 3n + 1 + 1

3(2^j) = 3n    y  2^k= 3n + 2

o sea n = 2^j 

sustituyendo 2^k=3(2^j) + 2, o sea 2^k-2= 3(2^j),

2(2^k-1-1)=3(2^j), de donde j=1 y k=3 y son todos los casos.O sea b = 7 y a = 4.

Sub caso ii), b = 3n + 2, procediendo del mismo modo queda:

3(2^j) = 3n + 1  y  2^k= 3n + 3, esta última igualdad es un absurdo.

Caso 2)  2^k= (b-1)   y 3(2^j) = (b+1), con j + k = a.

Sub caso i), b = 3n + 1.

2^k= 3n + 1 - 1 , que es un absurdo.

Sub caso ii), b = 3n + 2

2^k= 3n + 2 - 1  y   3(2^j) = 3n + 2 + 1

2^k= 3n + 1   y   3(2^j) = 3n + 3

2^k= 3n + 1 y   (2^j) = (n + 1)

Si dividimos:

2^k/ 2^j = (3n + 1)/(n+1), que solo tiene solución cuando n = 1 (el caso n =0 creo ya lo consideramos), en cuyo caso b = 5 y a = 3. Creo que son todos los casos.

Los números Fantásticos

Este sábado me topé con el siguiente problema:

Se dice que un número n es Fantástico cuando se trata de un cuadrado perfecto y a la vez la suma de los primeros números hasta n dan otro cuadrado perfecto. Por ejemplo, el 49, que es el cuadrado de 7. Por otro lado la suma 1+2+3+4+...+49 = (1/2)(49)(50) = 1225, que es el cuadrado de 35. ¿Cuál será el siguiente número Fantástico?

Pues después de tres cafés fríos, dos crepas y un caldo tlalpeño, creo que otro número Fantástico sería el 1681. He aquí la demostración:

Sea n un número Fantástico, entonces tendrá que ser un cuadrado perfecto, digamos:
n=  p², para algún entero p.

Al mismo tiempo debe tenerse que S(n)  sea de la forma q²; así, usando la fórmula de Gauss:
  S(n)=n(n+1)/2=(p² (p²+1))/2=q²; Consideremos el caso donde p sea impar, esto lleva
a que q sea impar.

Claramente p² y (p²+1)  son primos relativos, ya que son enteros consecutivos. Esto nos
lleva a que  p²  divida a  q², es decir: q²= p² r², para algún entero r. De ahí se desprende
que∶ (p²+1)/2= r², o bien: p²=2r²-1. Observese que p>r.

Esta igualdad posee una interpretación interesante: "El cudrado de r, duplicado y disminuido en 1,
da otro cuadrado". No es difícil estimar cuántos números separan a dos cuadrados distintos.
Si p>r, entonces ∃!k ∋ p=r+k. De donde la distancia entre sus cuadrados es:

(r+k)²-r²=2rk+k²
Pero p²=2r²-1=r²+(r²-1).

O sea, el término (r²-1)  es lo que le falta al cuadrado de r para alcanzar a p².

Sustituyendo queda que∶ 2rk+k²= r²-1=(r-1)(r+1). Como r debe ser impar, se 

desprende que (r-1)y (r+1) son pares consecutivos, digamos 2x y 2y, donde x y y son
consecutivos. Así la igualdad anterior se transformaría en:


 2rk+k² =(2x)(2y)  
k(2r+k)=4(xy), de aquí se nota que k es par, o sea: k=2k₁
k₁ (r+k₁)=xy, o sea: k₁=xy/(r+k₁ ), pero si (r-1)=x  y (r+1)=y, sumando igualdades:
r=x+y, de modo que: k₁=xy/(x+y+k₁).

¡Esta es la condición universal de los números Fantásticos, así como existe una para los números
Perfectos y las ternas Pitagóricas!

Si interpretamos la solución quedaría así: basta buscar dos número consecutivos  cuyo producto
pueda dividirse entre su suma aumentada en k₁, y que el cociente sea el mismo k₁.
Nótese que si x=2,y y=3,entonces k₁=1, de donde resulta que p=7 y r=5,
dando origen a n=49, el primer número Fantástico. Continuando el ensayo resulta:
(4)(5)…Falla
(5)(6)…Falla
             ⋮
(14)(15)  si funciona, pues el producto es 210, la suma 29,que aumentada en 6 da el mismo cociente.
Así otro número fantástico proviene de k₁=6, por lo que k=12 y r=29.
Así: p=29+12=41 y q=pr=41(29)=1189.
De este modo el siguiente número fantástico es n=1681= 41² y S(1681)=1189².

Dos paradojas y la racionalidad en juegos

El tema de la racionalidad es frecuentemente usado cuando hacemos alusión al tipo de comportamiento esperado por parte de los agentes que participan en una situación de conflicto como la que nos presenta la Teoría de Juegos. Y aunque dicho concepto pueda ser diferente en otros campos como el de la psicología o  la filosofía, para los juegos el comportamiento racional tiene que ver con las conductas mediante las cuales una persona o agente  tiende a mejorar sus intereses de acuerdo a la información que dispone.

Sin embargo, el imperativo de procurar a toda costa el mayor bienestar, o bien, el de actuar racionalmente, no siempre ha llevado a la mejor situación a todos los participantes involucrados. El ejemplo paradigmatico de esto lo ofrece el famoso Dilema del prisionero propuesto por Tucker, donde la inclinación por la estrategia Egoísta no les permite conseguir a los participantes  su mejor pago.

	J2	Denunciar	No denunciar
J1
Denunciar		(-10,-10)	(0,-20)
No denunciar		(-20,0)	(-2,-2)

 

En el contexto de la toma de decisiones, es de vital importancia preguntarse por la consistencia lógica de los procesos mediante los cuáles una colectividad trata de encontrar la alternativa que mejor satisfaga los intereses de grupo, como es el caso de una elección democrática. Lograr, por ejemplo, el diseño de un sistema de votación que refleje  el "sentir de las mayorías", y que ésta sea a la vez consistente con la gama de preferencias existentes durante una elección es de hecho un asunto bastante problemático y al que ya se le ha diagnosticado un destino poco favorable.

En 1951, con su famoso teorema "de imposibilidad", el Premio Nobel de Economía Kenneth Arrow daba a entender que no podía hacerse una generalización a partir de las preferencias individuales de un grupo de individuos participando en una toma de decisiones, sin que esto violara en alguna medida determinados "criterios racionales" o "buenos principios" identificados con los procesos de elección. Algún tiempo atrás (siglo XVIII), investigado acerca del número óptimo de jurados en la Revolución francesa, Antoine Caritat Condorcet ya había encontrado una situación un tanto paradójica, la cual puede enunciarse de la siguiente manera: 

"De la transitividad en las preferencias individuales en una votación por mayoría simple, no tiene por qué seguirse la transitividad en las preferencias colectivas"

La paradoja de Condorcet.

Traslademos a nuestro contexto el caso analizado por el analista Horacio Piffano en las elecciones de 2003 en Argentina. Supongamos que en un determinado momento existe un conjunto C de candidatos elegibles para nuestro país, digamos C= {López Obrador, Peña Nieto y Santiago Creel}, y que decidimos construir una relación binaria llamada relación de preferencias (C,≤ ) para el electorado, la cuál queremos que sea  reflexiva, transitiva y completa, es decir:

 i) ∀ a∈C, a ≤ a (cada candidato es preferible que sí mismo)

ii) a,b,c ∈C,a ≤ b y b ≤ c,entonces a ≤ c (Si el candidato b es preferible sobre a, pero c es preferible sobre b, entonces el candidato c se prefiere por encima de a)

iii) ∀ a,b ∈ C,se cumple que a ≤ b  o b ≤ a (Dados dos candidatos, siempre se puede saber cuál tiene la preferencia del electorado)

Ahora pensemos que existen tres sectores en el electorado:

X:Obradoristas anti-panistas.
Y: Peñistas anti-Obradoristas
Z: Panistas-Priístas
De modo que las preferencias quedan como sigue:

	Orden de preferencias en los votantes
Candidatos	X	Y	Z
Obrador	1º	3º	3º
Peña	2º	1º	2º
Creel	3º	2º	1º

Ahora consideremos que existe un sector (Z) que a último momento cambia el orden de sus preferencias y que es capaz de incidir sobre la agenda pública, es decir, que está en su mano decidir el orden en que habrán de someterse a preferencia las parejas de candidatos en determinada encuesta de suma importancia, quedando la configuración como se muestra a continuación:

	Orden de preferencias en los votantes
Candidatos	X	Y	Z
Obrador	1º	3º	2º
Peña	2º	1º	3º
Creel	3º	2º	1º

Enfrentemos por votación simple a los candidatos.

En (O,P) queda que P < O, ya que supera 2 a 1 en las preferencias de los votantes.

En (P,C) queda que C <  P.

En (O,C) queda que O <  C.

Note cómo se rompe la transitividad en cualquier caso. ¿Cómo determinar la preferencia global?

Pero el problema se incrementa a la hora en que desarrollamos la agenda pública.

i) En primer lugar se enfrenta a Obrador con Peña, de lo que se sabe que P <  O. Entonces Obrador se enfrentaría con Creel. De ahí resulta O <  C, o sea, P < O < C. Creel ganaría a pesar de que se tenía con anterioridad C < P.

ii) Si iniciamos Peña con Creel, ganaría Peña, que enfrentado por Obrador, éste último sería el vencedor. 

C < P < O, pero O < C.

iii) Si iniciamos con Obrador Creel, Peña sería el vencedor en la elección.

Como puede verse, el votante Z, a menudo llamado "votante pivotal", tendría en sus manos la última palabra en el destino de la elección, podría inclinar la balanza en favor de cualquier candidato independientemente de las preferencias de los votantes, incluso a pesar de que en todos los casos la transitividad, y con ello el criterio de racionalidad del proceso de elección, se halle fracturada, justo como lo señalara Kenneth.

La paradoja de Bernoulli.

Otro conflicto donde el concepto de racionalidad se ve involucrado y que provoca incertidumbre, es un juego que dio origen a la llamada paradoja de San Petesburgo. La paradoja surge justo cuando nos preguntamos por las razones que  terminan por convencer a un jugador de entrar en una situación de aparente riesgo. Nadie dudaría que la decisión de tomar partido en un juego es razonable cuando el jugador sabe que el pago que le espera supera en buena medida a la cantidad que tiene que arriesgar (apuesta). Para entender el concepto de pago esperado o esperanza matemática fijémonos en el siguiente juego.

Se tienen dos ruletas, cada una con tres números. A={8,7,1} y B={4,5,6} El juego consiste en que cada jugador (2) tendrá que echar a rodar la ruleta que haya elegido. Una vez detenidas se comparan los números obtenidos, el jugador que tenga el número más grande gana un punto, de lo contrario pierde 1.  ¿Cual es el pago esperado de cada jugador?

Como cada ruleta tiene 3 números, hay nueve posibles jugadas, cada una con probabilidad 1/9. De ahí que:

EA=1/9 (+1+1+1+1+1+1-1-1-1) = 1/9 (3) = 1/3. (Si sale 8 o 7 siempre gana A; con 1 siempre pierde)

Para el otro jugador se tiene el mismo pago pero en negativo. EB= -1/3. Por lo tanto A dominará el juego.

Para el caso de la paradoja de Bernoulli el juego se formula así:

Cada jugador debe empezar apostando alguna cantidad. A continuación se le da una moneda al primero y comenzará a echarla al aire hasta que le salga por primera vez águila. Si esto ocurre en la tirada "n", entonces toma 2ⁿ pesos y deja al otro jugador hacer sus tiradas. Se nota de entrada que el juego exige una apuesta grande para poder desarrollarse, lo cual se torna riesgoso para ambos jugadores a menos que el pago esperado sea prometedor. Hagamos el cálculo.

La probabilidad de que salga águila en la primera tirada es 1/2, a la segunda es 1/4, 1/8 a la tercera y así sucesivamente. El pago correspondiente en cada caso es  2¹, 2², 2³, etc. 

n = 1 A,S

n=2 AA, AS, SA, SS.

n=3 AAA, AAS; ASA. ASS, SSS, SSA, SAS. SAA. 

Por lo tanto:

E = (1/2) 2¹+ (1/4) 2² + ...+ (1/2) 2ⁿ = 1 + 1 +...+ 1 = n, pago que crece en la medida que el jugador tenga más partidas, y por ende, su apuesta sea mayor. El comportamiento racional en este caso sería elevar las apuestas, ya que el pago esperado crece indefinidamente, sin embargo la experiencia revela que los jugadores en la práctica no siguen esta conducta.

Para lidiar con ésta paradoja se han presentado diversas objeciones. La primera de ellas es de orden moral: las personas se rehúsan  a verse sometidas al riesgo. La segunda de ellas tiene que ver con que algunas jugadas sencillamente son imposibles: esperar obtener 10 lanzamientos sin que aparezca águila es inverosímil. La tercera tiene que ver con la estructura misma vía  el mínimo y el máximo pago esperado en cada jugada:

En la primer tirada el mínimo pago posible según la esperanza matemática es 1/2(2¹) = 1; el máximo es 2¹. En el segundo pago el mínimo sería 2 y el máximo 4. En general el la tirada n, min = n y max = 2ⁿ. Como el juego se define para todos los naturales, en el infinito el mínimo pago sería ℵ; el máximo 2^c, que es la cardinalidad de los reales, pago que es imposible entregar en unidades monetarias.

El último viaje del Renault

Durante toda la mañana, Christopher estuvo escuchando toda clase de explicaciones respecto al mismo asunto de la semana pasada, sin que una sola le pareciera algo convincente. Aquello simplemente era un absurdo; tener que dejarlo justo ahora que ya había alcanzado la estatura estipulada para viajar como copiloto sin ningún riesgo, era una mala decisión. ¿Y qué sucedería con el viaje prometido para ir a buscar fósiles a Coahuila?, ¿dónde quedaba esa larga expedición a la Sierra Occidental para cazar ranas venenosas y mirar cómo el suelo era dominado por insectos nunca antes vistos, la fogata donde quemarían bombones frente a la playa, el zafarí en puebla, el campamento en las riveras de la presa Iturbide y la visita al observatorio para comprobar el avance del cinturón de orión a lo largo del año?

En un par de horas, todas estas preguntas terminaron por sumir a Fermín en un terrible mal de culpa cuya cura sólo alcanzó a entrever en el hecho de que para los niños el mundo de los adultos nunca es comprensible. A medio día la abuela Antonia había intervenido para restarle sufrimiento, sacando de una mano al niño del auto, y llevándoselo casi a rastras al mercado, pero eso no bastaba, a lo sumo alejaba aquello que ya reconocía como un problema, lo ponía lejos como a un juguete que espanta en la infancia y se echa al sótano, pero no lo suprimía justo como un enfermo mental espera que desaparezcan sus alucinaciones. A Fermín siempre le pareció aborrecible la poca importancia que se le daba a las opiniones de los niños, y muchas veces en medio de una cena, años atrás le confió repetidamente a Úrsula su perspectiva de cómo la niñez es ese largo y cruel presidio donde se tiene que soportar sistemáticamente la desilusión y la mentira. En su perspectiva, el hecho de que en el mundo adulto valiera más no plantar en una cita al jefe que a un niño en el parque, hablaba de la pobreza cultural de una sociedad en asuntos educativos, incluso en una ocasión, quizá de manera exagerada, se atrevió a señalar en ello la raíz de la intolerancia y todo fascismo. Era una putada ahora estar en medio de una situación así.

Harto contrariado, Fermín guardó el bote con todos los utensilios de limpieza y abandonó anticipadamente la casa, (por última vez) en el Clío 2007. Se tomaría una cerveza en el primer bar que abriera temprano antes de entregarle las llaves a Úrsula, cuando ésta saliera a comer y cerrara el trato. Después de todo ella era la más valiente y por demás, la dueña legítima. Acordaron verse a las dos treinta en el come ya de Newton con Horacio. Entonces Úrsula estaba por salir del baño y él preparaba el desayuno cuando recibieron la llamada. Era Diana con la novedad de que su sobrino quería hablarle al tío con urgencia: ¡Tío Fermín!, ¿adivina qué? ¿Qué niñito? Kevin dice que su papá tiene un terreno donde hay muchos ajolotes y ranas verdes, ¿podemos ir a verlas? Sí. Vamos el sábado si quieres. Pero avísale a Kevin. ¿Mañana es sábado tío, o cuándo es sábado? Jaja!, No! Mañana es martes chavito. Uh!, vamos hoy tío. Anda, y te platico un sueño que soñé.

Después había sido lo del incidente de los viajes y la dramática salida al mercado. Ahora él corría por Río San Joaquín, a los acostumbrados setenta kilómetros por hora, la palanca tirada sobre la tercera y con el vidrio completamente oculto, bajo el brazo que hacía suaves ondulaciones en el aire. Miles de recuerdos galopaban su mente, sufrían esa dura trasmutación en cristales de añoranza, justo como cuando de un día para otro se empieza a extrañar al familiar muerto y todo lo que se daba por costumbre repentinamente se echa de menos.

El ruido del motor siempre había sido el mismo parloteo de delfín, como él solía definirlo en términos marinos. Rodando sobre el asfalto podía percibirse al sol reverberando en el cofre recién pulido y de pronto Fermín se lamentó que en su último viaje ambos no pudieran reproducir esa vieja canción que escuchó en la cinta de Párpados azules: this strange effect de Dave Berry. Recordaba que en una charla entre mujeres cierta antropóloga dijo un día que el amor experimentado por los hombres hacia sus autos era una prueba de sus tendencias objetófilas, pero qué más daba, aunque todos lo repitieran, era algo más que ser el primer auto lo que lo apegaba a él, después de todo se ha soñado con éste mucho antes de ir a la escuela y eso hace que el primero no sea en definitiva sino uno antes deseado. Como aquel primer beso imaginado con miles de noches de anticipación y que una tarde sucede en la mesa de una nevería como un evento planeado por el Demiurgo con el único fin de ser comprobado en un hombre y una mujer, tarea a todas vistas situada en una jerarquía de segundo nivel. Era más bien lo que ello conllevaba. El beso en sí mismo no es si un término sin valor, pensaba, su grandeza residía en su capacidad para abrir posibilidades.

En su caso por ejemplo, estaba la madrugada cuando hicieron posible acercarle el mar a los viejos de Úrsula, sobre todo a su madre, quien al verlo por vez primera no pudo sino responder a su emoción con un canto sin fondo, el cual escucharon asombrados durante toda la tarde y durante todo el cielo que atravesó el sol en aquel viaje. Estaba la vez que el tío Vicente cayera por desgracia en ese hospital del demonio que estaba en una ciudad vecina y la tía Margarita tuviera que dejar a los niños al desamparo de la casa vacía. En esa ocasión el Clío había llevado víveres y había servido como campamento después de los horarios de visita; había servido para buscar al padre de Fermín la vez que enloqueció y sobre la misma ruta perseguir la huella de una mujer en el corazón de un amigo. Pero sobre todo los paseos con Úrsula, las estancias en los miradores, las noches de motelitos camino a Puebla, las travesías nocturnas por la autopista sin luciérnagas, las tardes de relámpagos, todas las disputas, las fiestas, los bailes, las idas al cine en la función de media noche. Todas esas cosas resaltaban el valor de un automóvil, lo confirmaban como algo más que una herramienta de trasporte. Eran ya más de noventa mil kilómetros con Úrsula, de estar y no estar con ella, noventa mil kilómetros en donde en algún punto se situaba el momento cumbre de su amor y también su desplome, sus traiciones y reconciliaciones en mitad de la madrugada cuando ella solía llamarle desde algún salón de baile para que la recogiera, y se perdonaran mutuamente cada uno desde su asiento, detrás de su porción de cristal con que veían e intentaban unir sus visiones irreconciliables del mundo, donde secaron y desempañaron sus lágrimas mirando por el retrovisor los momentos podridos, alejándose con los señalamientos de bifurcaciones y libramientos, muy, muy lejos ya de ese veneno ineludible. Y ahora estaba ahí, frente al tarro de cerveza semivacío, sin poder abrir el libro obligado de cualquier salida, a punto de entregar su pasado y comprometiendo buena parte de un futuro que de ahora en adelante permanecería desconocido.

Como a las dos cuarenta Úrsula apareció en la esquina de Horacio con Newton. Fermín cruzó apresurado la calle y después de una rápida conversación entregó las llaves. Cuando se despidieron, alcanzó a oírle que su madre había estado llamándole al celular. Agradeció con un gesto despreocupado la información y cogió el primer taxi que le salió al paso. Solo quería alejarse de la zona, tomar después un público hasta alguna plaza y adelantar algunos capítulos antes de volver a casa.

Dos minutos después de encender el celular su madre estaba en la línea, lo cual le produjo cierta desconfianza.

¿Fermín?, ¿Oye, dónde andas? Estoy buscándote desde hace una hora. Estaba apagado el teléfono mamá, ya ves que no me gusta que sepan dónde estoy. ¿Qué sucede? Es Christopher. No para de llorar. Dice que tenía que decirte algo importante. Lo tuve que llevar con el doctor de enfrente porque estaba inconsolable. La enfermera le aplicó un sedante. Está muy enfadado conmigo Fermín, dice que es mi culpa que te hayas ido sin saberlo. Por qué no vienes y hablamos. Sí, pero, ¿qué te ha dicho? Es por el loco de tu padre, no sé qué mierda le metió ahora en la cabeza sobre las almas. La semana pasada me dijo que le había enseñado a hablar con las plantas y ya ves cómo es el niño. El mes pasado no quería ni que matáramos a las moscas. ¿A caso no sabe que eso no se le dice a un niño? Pero no sé eso que viene al caso mamá. Pues que tu padre le contó lo del Datsun rojo. Le refirió toda esa historia de Chiapas, cómo el ejército le quitó su carro para encerrarlo de por vida en un corralón improvisado en la sierra. Tú sabes mejor de lo que hablo Fermín, de esa disparatada de que su coche lloró años después de que lo encontró con el motor partido por la mitad y que solo pudo traerse el cristo del tablero que sobrevivió al incendio. Mira ya va a despertar… Pásamelo mamá, estoy un poco lejos. Quiero decirle algo.

En el hospital, la madre de Fermín hizo lo posible por acercarle el teléfono a su nieto. El niño estaba sedado desde hacía hora y media en una camilla. Tenía los párpados inflamados y un temblor desconsolado le impedía respirar con normalidad. Lo primera imagen que Fermín se hizo tras el teléfono fue la de Diana cuando niña. Repetidas veces terminó en la piececita de sanaciones de la curandera de la colonia por culpa de sus desaforados berrinches y los caprichos por los que disputaba con su mamá. Entonces una bofetadita bastaba para destrabar la mandíbula abierta y un tecito para calmar los nervios. Con Christopher era distinto. Se tomaba muy en serio todo, o mejor dicho, alcanzaba a darle el justo significado a las cosas, a las promesas, a las leyendas y fantasías. Era de esos niños en quien los actos demostraban la bajeza de ser mayores. En realidad no hacía falta que Antonia le refiriera detalles, él mismo había repetido decenas de veces las mismas historias del abuelo en algún paseo, es más, creía ver cómo el brillo en la mirada del niño se intensificaba cada vez que Fermín le confesaba cómo había aprendido las mismas cosas cuando niño. También hablaba de vez en cuando con las flores y mostraba respeto por los animales que aparecían en los rincones más solitarios de la casa; contestaba con las mismas respuestas a las mismas preguntas hechas al abuelo en su infancia, pero lo que más le jodía era la historia del Datsun rojo, la creencia fomentada en que las cosas apreciadas venían un poco del alma de las personas, que la familiaridad ejercía un poder increíble en los objetos, que la voz abría oídos a cada objeto del universo para que el hombre pudiera ser escuchado y correspondido. Toda esa mierda era cierta y ahora tener la obligación de negarlo al teléfono era una carga increíble.

Fermín apretó fuertemente el teléfono pero no evitó que la voz surgiera desde el fondo. ¿Tío? Hola hijo. ¿Y el Renault? Ya lo entregué niñito. Ahora la voz de Christopher quería llorar pero el sedante se lo impedía. Es que tenía que decirte algo. Soñé que tu auto lloraba. ¿Sabías que pueden? El abuelo dice que lo hacen por los faros, pero los cocodrilos no pueden hacerlo. Sabías eso tío…

Antonio el numerólogo

[Funes] era capaz de recordar la forma de las nubes australes del amanecer del treinta de abril de mil ochocientos ochenta y dos y podía compararlas en el recuerdo con las vetas de un libro en pasta española que solo había mirado una vez y con las líneas de la espuma que un remo levantó en el Río Negro la víspera de la acción del Quebracho.

Funes el memorioso. J.L.B.

A mis cinco amigos y a mi padre.

No por la designio aciago de una memoria prodigiosa, pero si como consecuencia de una vida precaria, Antonio, el ya casi olvidado ex-profesor de CCH, desarrolló un método de sobrevivencia basada únicamente en el conocimiento de ciertos números imprescindibles para su vida rutinaria. A nadie, salvo a él, las matemáticas le parecieron un asunto tan necesario como saber andar en bus o cruzar una calle transitada y ancha. Al cabo de quince años de pasar la mayor parte del tiempo en la sala de estudio de su casa, con las manos esclavizadas por la entrepierna y la cabeza humillada por la cobardía, este desertor de la vida adquirió un respetable cúmulo de conocimientos que no solo a nadie servían, sino que además no podían despertar el menor interés en persona sana de su juicio.

Por ejemplo, conocía no solo el radio exacto de una tortilla común y corriente, el número de piezas que conformaba uno, medio, un cuarto, un octavo, todos los tercios, quintos y todos los submúltiplos impares de un kilo hasta los novenos, sino el espectro de variaciones que éste sufría a lo largo de una semana entera como consecuencia de los cambios de turno de los empleados en la tortillería; sabía que si por un año completo todos los kilos estuviesen hechos por las tortillas del domingo, entonces habría al menos cuatro días en que una familia de seis personas no podría comer hasta saciarse, teniendo que acudir en un mismo día dos veces al expendio.

Su afán por conocer la cantidad exacta de la que estaba hecha cada cosa, lo llevó a establecer el número de tazas de café que podían ser endulzadas por una bolsa de a libra de azúcar morena, cantidad por demás considerablemente mayor a si se tratara de azúcar refinada. Supo además que las exigencias calóricas del invierno lo obligaban a agregar tres diez y seisavos de cuchara más a cada porción, pero que este exceso se compensaba perfectamente con la costumbre de agregar menos azúcar a las aguas frescas del verano, salvo en los años bisiestos. Logró determinar que cuando más escaseaba el dinero, convenía que en los inviernos el café, el té y toda bebida dulcificada se sirviera fría, ya que a menor temperatura el menor índice de solubilidad del agua provocaba que un séptimo de dos cucharadas de azúcar se quedara sedimentado en el fondo de la taza, con lo cual al cabo de catorce porciones, que eran siete días, media porción de día era endulzada a partir de las sobras, y que el aporte de temperatura al cuerpo provisto por una taza de café a sesenta grados centígrados podía ser compensada por tres sesiones de veinte sentadillas, o bien, cien lagartijas en tres sesiones, ya que el trabajo por cada lagartija equivalía aproximadamente en toda persona a tres quintos de su sentadilla.

Sus sentidos se adecuaron tanto a las medidas, que Antonio el numerólogo era capaz de saber cuántos gramos le faltaban a los supuestos kilos de carne y de huevo en todas las carnicerías y tiendas de abarrotes de los alrededores, aun y cuando por sus carencias, del primer producto él solo comprara medios cuartos, seis veces al año, teniendo siempre que multiplicar el faltante (y la dificultad del problema) por ocho y logrando hacer eso con un margen de error de solo el uno por ciento. Dicha sabiduría le valió para hacerle a don Lázaro la advertencia de que en las actuales condiciones, sus medios kilos eran en realidad trece veinticuatroavos, y a base de varios cálculos hechos en cuatro hojas de papel de estraza, logró demostrarle a sus ojos atónitos (sin pedir compensación alguna) que la dimensión promedio de los blanquillos en las condiciones de hoy impedía despachar quinientos gramos exactos, y que por ende, cada veinticuatro medios kilos vendidos se perdía uno.

Resta decir que era capaz de determinar el estado de cocción de un caldo de jitomate, de un arroz blanco y de un menudo caldo de pollo con solo examinar el olor que se percibía en un radio de cincuenta centímetros alrededor de la estufa, todo bajo la premisa de que al levantar la tapa del caso en cada inspección, ésta le hacía perder al vapor interior una energía solo recuperable con treinta segundos extras de lumbre, ahorro que le permitía anualmente coser un pan de medio kilo para navidad y compartirlo con sus gatos.

Su oído era tan agudo, que podía calcular, apoyándose en el efecto Doppler, el tiempo que tardaría en llegar el camión recolector de basura con solo oír dos veces consecutivas el sonido que hacía la campana. Conocía que las perturbaciones en el clima no hacían que dicho tiempo se modificara en una cantidad apreciable, pero si a la hora de predecir la distancia a la cuál una tormenta de relámpagos podría arruinar sus paseos otoñales en bicicleta.

Sus constantes expediciones al campo, en compañía del instrumental meteorológico correcto, y las múltiples lecturas que hizo en los climas y altitudes más variadas, dieron a su piel la capacidad de percibir las variaciones micrométricas en la longitud de la vellosidad de sus brazos y pecho, de modo que los signos de sus escalofríos, multiplicados por un millón respecto a los del hombre normal, le facilitaban predecir cuánto duraría la lluvia y cuánto la sequía en un periodo normal de cualquier estación, cuándo un niño cogería un resfriado seguro y cuándo un perro no podría refrigerarse a pesar del jadeo constante después de corretear a un cartero en pleno rayo del sol.

Nadie como Antonio se convenció jamás de que el orden del universo y las costumbres humanas estaba regido por cualidades numéricas perfectamente identificables a los ojos de la paciencia y de la premura provocada por la pobreza. Registró tantas cantidades y tantas cifras en las hojas reciclables de sus lecciones pasadas, en los rectángulos de papel de estraza que se obtenían al desenrollar una bolsa de panadería y otras tantas en las hojas dejadas en blanco en sus escasos libros de poemas, de tal modo que entre el poema veinte y la canción desesperada podía estudiarse el registro detallado de todas las temperaturas leídas en el termómetro de mercurio justo al amanecer y al atardecer de los tres años que tuvo el resfriado más largo de su vida. En cada bombilla fundida, estaba escrito con tinta roja el número de encendidos exitosos hasta antes de haber sido reemplazadas y guardadas en el rincón del armario; en tinta negra asignaba el número de palomillas de san Juan que habían muerto quemadas contra su fuego tratando de alcanzar la luz. Pero de entre todos sus registros, ninguno se comparaba con la sucesión a la que cada día contribuía con sus sueños. Por regla, en alguno de los muchos que tenía, aparecía siempre una cantidad de cualquier número de cifras, que nunca se repetía y que permanecía en su memoria hasta que sus ojos volvían a cerrarse la noche siguiente. Trazaba dichas colecciones numéricas sobre los quince muros de su casa, formando relieves intrincados, cuyo estudio y la experiencia de todos los años apuntaba a sospechar que sus sueños arrojaban piezas que al encajarse configuraban la irracionalidad misma. La ausencia periódica lo hizo imaginar que sus sueños serían infinitos, infinitas sus noches, infinitas las disposiciones de su alma, sus miedos, todos los deseos exteriorizados por el oscuro subconsciente. Mientras aquella sucesión no se repitiera, él no conocería la muerte, es decir, el olvido numérico.

Y con esa certeza en el corazón, a saber, que su alma no conocería la muerte mientras sus sueños construyeran exclusivamente un número irracional, recorrió en bicicleta más de veinte mil kilómetros sin preocuparse jamás por la manera de hallar sustento. En los pueblos lluviosos enseñó a la gente cómo construir sencillos pararrayos y modestos pluviómetros a cambio de techo y algo de sopa caliente; en los áridos explicó cómo los árboles podían incidir benéficamente en el clima en un lapso de solo diez años, insistió en el amor que debía profesársele al mundo vegetal y en una breve exposición logró demostrar la existencia del alma de la madre naturaleza. En los pueblos mágicos sirvió de guía, contribuyendo con nuevas e inverosímiles historias que arrebataban el asombro de los turistas e incluso de los nativos y nativas, muy a pesar de que supieran que aquello no formaba parte del legado histórico. En aquellas zonas donde escaseaban los colegios instruyó a los ancianos y a los poetas para enseñar el sistema numérico mediante un método basado en la pura imaginación, por lo que no eran necesarios ni libros, pizarras o cuadernos; incitó a los curas a orientar sus sermones en un sentido cabalístico y versó en su despedida acerca de por qué los enamorados y los maestros podrían ser mejores gobernantes que los políticos. Cruzó descalzo las zonas adineradas de cada estado que encontraba a su paso, pidiendo pan y agua en cada puerta sin recibir miga alguna, con lo cual, toda vez que acababa su recorrido le confiaba a dios su idea de que lo anterior había de constituir una demostración por inducción de que los ricos no debían ingresar al cielo.

Sin embargo, después de ciento dos años, Antonio el numerólogo tuvo un último sueño. Las cifras que había de agregar esa mañana (las cuáles anotaba en rollos de papel higiénico para incorporarlos después a los muros de su casa) iban a hacer que la larga sucesión trazada sobre sus paredes por fin se repitiera. Logró adelantar al destino con su mente prodigiosa y vaticinó que dentro de ciento treinta y siete noches, llegaría su última noche sobre la tierra.

A partir de ese día, mi padre comenzó a olvidar una a una cada cifra del sistema numérico. Por ejemplo, al olvidar el número siete, perdía con él todas las fechas históricas en cuya expresión había aparecido éste, cada mes en el calendario había perdido tres días y con ellos todas sus anécdotas, le extrañaba tener ciento dos años pero al contabilizar uno a uno sus cumpleaños no explicaba por qué diez y nueve de ellos habían desaparecido por completo. Con el paso del tiempo terminó por no poder pronunciar su edad, referir su dirección, su talla o peso, olvidó que cinco eran los dedos de la mano e incluso que dos describía la cantidad de ojos y personas necesarias para formar la palabra amor, sintió un gran terror cuando el censo poblacional tocó a su puerta y no pudo responder a la pregunta de cuántos habitan ésta casa. Olvidó la manera en cómo podía descifrarse la disposición de las manecillas del reloj y la cantidad que debía dormir cada día. Perdió la noción de cuánto debía esperar entre llamado y llamado al tocar una puerta; había veces en que respondía repentinamente a una pregunta que le había hecho el médico horas antes en el consultorio del hospital mental.

La noche de su muerte (solo dios sabe si en ese último momento se le permitió recobrar toda su lucidez, pues así me lo pareció) se recostó afablemente en el centro de la pieza, la contemplación de todos sus números le provocó una larga sonrisa y creo que conoció en ese momento cumbre la verdad tras el misterio de ser hombre, a saber, que ni dios mismo conocía la manera, ni tenía la paciencia, ni el tiempo para regocijarse en la inútil tarea que había sido toda su vida como numerólogo: la de llegar de uno en uno hasta el infinito.

Recuerdos de la tifo

Desde que tengo memoria sonrío con facilidad. La menor charla derivada en una broma, la persistencia de una mirada en el metro, el más casual encuentro en un parque a menudo concluye en una larga y estúpida sonrisa. ¿Por qué no iba hacerlo en este momento? La risa también es una respuesta a la humillación. Me detengo recargando el peso sobre las rodillas y respiro dos o tres veces, las ganas de cruzar corriendo el patio poco a poco me abandonan; ha sido demasiado completar varias vueltas a toda la escuela y comer de aquellas peras verdes. De pronto extravío una respiración en algún episodio del aire, ha sido un jadeo, pienso.

La sonrisa dibujada en mi rostro se queda inmóvil por un instante, se acompaña por una sensación cuya procedencia ignoro, pero está ahí, rezumbando bajo la piel. Es semejante al olor de la sangre, la que se libera internamente después de una contusión grave y recorre las fosas nasales, el laberinto ocular y los caminos cerebrales, hasta que emerge inflamada como la lava. Cuando era más niño este mecanismo de alerta se activó tras recibir un pelotazo en la cara; estaba ese fortísimo olor precediendo la venida de la sangre, la reticencia del miedo, y por supuesto la burla de los espectadores.

Camino despacio. Es un día normal de colegio, me digo; aunque el universo de los otros se adelante como las avispas que vuelven hacia el nido después de una cacería. Habrán depredado una colonia en algún rincón del bosque donde ahora yacen centenares de insectos, inferiores, decapitados, todavía torturados por la agonía. Los objetos, que parecen animados por una extraña fuerza de gravedad confluyen velozmente hacia un solo punto distante. Voy a quedarme en medio del patio completamente vacío. El sudor caliente, ardoroso, salado, resbala por mis mejillas; siento el cosquilleo de sus pequeños ríos desprovistos de peces. Relamo mis labios con ese pedazo de carne roja y viscosa que se alarga tanto que creo merodea ya las mejillas.

Me detengo todavía en la puerta del salón y miro hacia arriba. Es el sol, las dunas de sal, mayo, la conserje tratando de restablecer el patio hecho un desorden bajo el rayo; doña Chelo guardando sus frutas, barriendo bajo aquella marquesina y tratando de alcanzar el recogedor. El patio brilla intensamente como un espejo. Es tarde para sentarse a contemplar, me digo. Quiero tumbarme pero la deshidratación me consume. Las últimas gotas abandonan la frente y arden sobre el suelo. Quisiera salir de este instante, saltar de este vagón hacia la sombra y hundir la frente en el césped.

La maestra no dudará en reprocharme cada minuto de mi demora. Escucho las reprimendas contra los que comen dentro. ¡Carajo! ¿Dónde cogí ésta sed? El baño está solo a unos pasos, vacío, fresco, con los lavamanos húmedos, las tazas frías. Capulín, el perro de la conserje me mira, luego agacha la mirada y lengüetea hundiendo la cabeza en esa cubeta para trapear. (¡Si pudiera probar algo de agua!) Gime, baja las orejas, mira algo dentro de mí, quizá es el fantasma de la sed que se abrasa en mi boca. Retuerce la cola y enseguida se pone a ladrar cuando la maestra me toma con violencia del brazo.

El salón está caliente. Huelo en el aire la sustancia del sueño que se licúa, miles de hormigas escalan por mi cuello buscando la cima. Quieren beberse la pequeña laguna de mis ojos. Quiero recostarme; me derrumbo en la primera banca; no es la mía por supuesto, pero se siente tan reconfortante.

Ahora la maestra enseña Geografía; el hombre no llegó a América en balsas. Los mares se congelaron en el polo y los viajeros cruzaron por Bering acompañados de perros. La agricultura es la actividad principal del hombre. ¡Somos nómadas!, ¡no tenemos tierra, pero conquistamos el fuego!, ¡hemos vencido a la noche y al frío!

Abro los ojos y puedo oler el mar, la sal del mar congelado. Estoy ensopado en sudor. ¡Me siento cansado Oscar! ¡Escríbeme la tarea por favor! ¡Oscar, eres el mejor amigo del hombre! Vamos, quita esa cara y ese aliento recalcitrante.

Vagabundeo por la escuela ignorante del tiempo y el espacio. Hoy no debería estar en la escuela, debería estar dormido en casa. En mi cuarto no entra luz, nadie ha corrido las cortinas esta mañana y aún no se escuchan los pasos de mi abuela rondando la estufa. ¿En verdad tengo que subir la escalera con esta mochila tan pesada? Oscar me acerca una hoja blanca al rostro. Quiere que me duerma, como el cloroformo lo desea para el enfermo. Es mi tarea. Debo comprar una monografía de América, de la sangre que corre por América, por su cuadrícula, por sus márgenes azules.

Es mi sangre la de América, repito entre gritos. El cielo se puebla de rostros, de imágenes abominables, de mocas negras sobándose las manos. Ya no puedo andar, Bering se está congelando bajo mis pies. Los ángeles son pájaros con rostros humanos. Las nubes se están incendiando y corren como ovejas. Miren como los pájaros van al entierro de la lluvia. ¿Ahora quién llorará por América?

Amigo, avísale a mi abuela que estoy muriendo, que no pude cruzar el desierto. ¡Oscar, díselo!

Historia de la palabra

Se lo he oído decir muchas veces.

-es bueno que el hombre se enseñe a hablar hijo.

Le he visto decenas de veces la certidumbre en los ojos como si fuera el único fuego conseguido por él en toda esta puta vida (aunque claro, para él no es puta, sino imprevisible). Casi siempre después de pronunciar la sentencia se calló, perdiendo la mirada en algún espacio de ese universo invisible en el que los ancianos guardan los recuerdos acumulados, con ese temblor en la mano y ese tic perpetuo que hace que su cabeza lo asienta todo. Es una suerte que el Parkinson haya hecho del semblante del abuelo un símbolo del optimismo. Nunca dice que no.

Medito en la trascendencia de aquella oración que es el estandarte de mi abuelo. Haber vivido para hablar no como un poeta lírico, sino para romper el silencio caótico del campo, del campesino muriendo de hambre sin voz, en cuclillas, atormentado por la inexpresión. La expresión es un abismo en la que tarde o temprano caemos. Bien es sabido cómo la palabra le permitió a dios crear el mundo (esa fue su tentación, la del hombre: existir, es decir, nombrar), todo es una palabra de dios y el hombre una que aún no se termina de pronunciar. El universo es una obra negra, a menos que dios haya decidido enmudecer o ceder su lugar al hombre, que es una única palabra que se le asemeja, capaz de pronunciar otras y con ellas crear ese microcosmos llamado destino.

Mi abuelo Antonio, Antonio el Sereno, decidió romper su silencio de convicto una mañana (o quizá una noche) en que el Río Bravo le arrebató junto con sus ropas, la vida de algunos compañeros. Desnudo y en medio del llanto, hizo un recuento de todas las noches que había tenido que esconderse debajo de los puentes, escuchando cómo los granjeros pasaban por encima de él buscando al astuto ladrón que robaba de sus mazorcas, y decidió quedarse en su tierra ingrata aunque muriera de hambre o en prisión. Fue así como se dirigió a Piedras Negras y en la plancha central se arrimó a la primer tienda de reclutamiento, donde solo había dos destinos: la cárcel o la renovación. Al interrogarle el sargento acerca de su nombre, mi abuelo pensó que de tanto anonimato, de tantas conversaciones sin confesión, su identidad bien podría habérsela llevado el Carajo, y decidió crear su nombre, con la fuerza y entonación correcta, como sugiere la leyenda del Golem, como solo dios supo hacerlo al formar el primer hombre de arcilla. Sánchez Valdovinos Antonio señor. Al crear su nombre creo también el de Aurora, los paseos en la Alameda de Santa María la Rivera, a su fiero e inseparable compadre Domínguez, al “Cantarito”, su caballo de tropa; creo el enamoramiento y la casita pobre de la Escandón donde se originó la descendencia, la fábrica de detonaciones, la sordera insistente, los camaradas rojillos de la época de la Linan, Marx, la muerte del Che y el Jesús comunista de la Santa Biblia. Con el apellido Ruiz se iba a la basura todo el pasado verdadero, la matanza de Tizapán, la abundante sangre que su treinta y ocho sembró en la milpa del enemigo, los huérfanos, las viudas, la tierra asesinada, la promesa de encontrarse con su padre en La Palma, la despedida en plena balacera en casa del Síndico, el llanto de su madre entre los adobes rotos, la primer Aurora, aquella que lo había parido en medio del monte, cuando los federales les seguían los pasos para que entregaran la causa, para que se descolgaran los enormes cristos del cuello a cambio de indignas tierras. Ahora sé que fueron en esos días, cuando las balas zumbaban encima de su cabeza, que la sangre de mi abuelo sintió su primer hervor.

Su sangre inquieta, brava, le haría perder años después el nombre asignado por el cura clandestino, aunque también le daría la posibilidad de otra sangre, la de los hijos.